Наследство и страховка на авто - как правильно действовать после смерти отца?

Ничем не грозит. Он может пользоваться машиной, никакого наказания за это не положено.

Добрый вечер, Роман.

Вы эксплуатируете автомобиль, который ввиду смерти собственника (владельца) должен быть снят с государственного учета, то есть в нарушение положений Правил государственной регистрации транспортных средств в регистрационных подразделениях государственной инспекции... (далее - Правила) (утв. Постановлением Правительства РФ от 21.12.2019 N 1764 "О государственной регистрации транспортных средств в регистрационных подразделениях Государственной инспекции безопасности дорожного движения Министерства внутренних дел Российской Федерации".

Поставить наследственное ТС на государственный учет Вы сможете только посте получения у нотариуса свидетельства о праве на наследство на автомобиль (ст. 1162 ГК РФ).

Так, в силу указаний п. 57 Правил прекращение государственного учета транспортного средства в случае его отчуждения осуществляется регистрационным подразделением на основании заявления прежнего владельца транспортного средства и предъявления им документов о заключении сделки, направленной на отчуждение транспортного средства, при условии отсутствия подтверждения регистрации транспортного средства за новым владельцем.

Прекращение государственного учета транспортного средства при наличии сведений о смерти владельца транспортного средства... осуществляется регистрационным подразделением на основании решения уполномоченного должностного лица регистрационного подразделения (п. 58).

Таким образом, Вы эксплуатируете наследственное ТС без законных оснований, что влечет неблагоприятные для Вас последствия в случае выявления смерти владельца ТС, на которого оформлены документы на автомобиль, например, в случае остановки ТС инспектором ГИБДД, ДТП.