Когда стали копать, получился небольшой обвал (почва песчаная) на стороне соседа.

В соответствии со статьями 61, 62 Градостроительного кодекса Российской Федерации, строительство зданий, строений, сооружений должно осуществляться на основе проектной документации, разработанной органами архитектуры и градостроительства, органами государственного контроля и надзора. При наличии указанной проектной документации органами местного самоуправления выдается Решение на строительство. То есть Вам необходимо получить разрешение на строительство. Если теплица является недвижимостью, соответственно тоже нужно сделать проект и получить разрешение на строительство. Что бы снести самовольную постройку нужны основания. Истцами по искам о сносе самовольных построек могут быть, например, собственники земельных участков, на которых было осуществлено самовольное строительство, а также иные заинтересованные лица чьи права нарушены. Как правило, истцами по искам о сносе самовольной постройки выступают органы местного самоуправления.

То есть однозначно ответить на Ваш вопрос нельзя. Вопрос в том сможет ли сосед доказать нарушены его права или нет. Та же история с возмещением вреда здоровью. Необходимо доказать причинно следственную связь между инцидентом и ухудшением здоровья.

если ваше строительство не связано с пердпринимательской деятельностью, то разрешение ни какого не нужно. А вот по поводу оскорблений, если вы все сносите молча, со всем соглашаетесь, то ваш сосед постарается доказать, что ваше строительство привело к конфликту, конфликт к расстройству его здоровья, и будет требовать устранить препятствие в пользовании его земельным участком(у вас есть и плюсы) вы добровольно, самостоятельно, привели все в первоначальное состояние-засыпали, укрепили, предлагали компенсацию, надеюсь это зафиксировано?) Остальное будет решать суд!!! Ни при каких обстоятельствах не говорите, ни кому, что виноваты мы!!! "Так. как мы виноваты,мы всё снесли молча" во первых-виноват или нет устанавливает суд! во вторых сказать так, значит признать требования, даже иной раз и нелепые!!!

Вы вправе себя защищать и бороться за свои права, как вы поступите решайте сами!!!