Требование жителя сельской местности - предоставить ему автомобиль для свободного передвижения в районный центр

Надо отказывать гражданину в удовлетворении его требований. Нет такой обязанности.

Ваше конституционное право на основании статьи 27 Конституции РФ

1. Каждый, кто законно находится на территории Российской Федерации, имеет право свободно передвигаться, выбирать место пребывания и жительства.

Для более подробной консультации необходимо знать Ваш социальный статус (например, пенсионер, инвалид и т.д.)

На основании,

Федерального закона от 06.10.2003 N 131-ФЗ (ред. от 09.11.2020) "Об общих принципах организации местного самоуправления в Российской Федерации"

Статья 20. Осуществление органами местного самоуправления отдельных государственных полномочий

п.5. Органы местного самоуправления вправе осуществлять расходы за счет средств бюджета муниципального образования (за исключением финансовых средств, передаваемых местному бюджету на осуществление целевых расходов) на осуществление полномочий, не переданных им в соответствии со статьей 19 настоящего Федерального закона, если возможность осуществления таких расходов предусмотрена федеральными законами.

Органы местного самоуправления вправе устанавливать за счет средств бюджета муниципального образования (за исключением финансовых средств, передаваемых местному бюджету на осуществление целевых расходов) дополнительные меры социальной поддержки и социальной помощи для отдельных категорий граждан вне зависимости от наличия в федеральных законах положений, устанавливающих указанное право.

Финансирование полномочий, предусмотренное настоящей частью, не является обязанностью муниципального образования, осуществляется при наличии возможности и не является основанием для выделения дополнительных средств из других бюджетов бюджетной системы Российской Федерации.

т.е. в данной ситуации на все Ваши письменные заявления, обращения (которые должны соответствовать ст.7 ФЗ №59 от 02.05.2006 "О порядке рассмотрения граждан РФ"), администрация местной власти, должна предоставить Вам письменный ответ, который Вы праве оспорить в судебном порядке.