Как переоформить купленный участок в садовом кооперативе без договора и расписки?

Скорей всего придется оформлять в судебном порядке. Порядок оформления сложный. Надо обратиться в правление СНТ, выяснить какие документы у них имеются, взять справку о том, что вы владели участком, платили, вы должны быть включены в члены СНТ. далее надо провести межевание. После чего признать в суде за вами право собственности.

А было ли хоть у кого-то зарегистрировано на право на участок?

Если нет, то Вы можете оформить участок в собственность, если он соответствует вот этим требованиям:

Федеральный закон от 25 октября 2001 г. N 137-ФЗ "О введении в действие Земельного кодекса Российской Федерации" (с изменениями и дополнениями)

2.7. До 1 марта 2022 года члены некоммерческих организаций, созданных до 1 января 2019 года для ведения садоводства, огородничества или дачного хозяйства, и члены садоводческих или огороднических некоммерческих товариществ, созданных путем реорганизации таких некоммерческих организаций, имеют право независимо от даты вступления в члены указанных некоммерческих организаций приобрести земельный участок, предназначенный для ведения садоводства, огородничества или дачного хозяйства, без проведения торгов в собственность бесплатно, если такой земельный участок соответствует в совокупности следующим условиям:

земельный участок образован из земельного участка, предоставленного до дня вступления в силу настоящего Федерального закона для ведения садоводства, огородничества или дачного хозяйства некоммерческой организации, указанной в абзаце первом настоящего пункта, либо иной организации, при которой была создана или организована такая некоммерческая организация;

по решению общего собрания членов указанной некоммерческой организации о распределении земельных участков между членами указанной некоммерческой организации либо на основании другого документа, устанавливающего распределение земельных участков в указанной некоммерческой организации, земельный участок распределен данному члену указанной некоммерческой организации;

земельный участок не является изъятым из оборота, ограниченным в обороте и в отношении земельного участка не принято решение о резервировании для государственных или муниципальных нужд.

Для уточнения исходных данных и перспектив решения вопроса обратитесь к юристу для консультации очно.