Как получить компенсацию от ФСС после несчастного случая - нужно ли вступать в наследство или достаточно наличия отца в свидетельстве о рождении?

Эти понятия не связаны. Из буквального толкования закона, достаточно записи и совместного проживания.

"Гражданский кодекс Российской Федерации (часть третья)" от 26.11.2001 N 146-ФЗ (ред. от 18.03.2019)

ГК РФ Статья 1183. Наследование невыплаченных сумм, предоставленных гражданину в качестве средств к существованию

КонсультантПлюс: примечание.

Правила о наследовании нетрудоспособными лицами, установленные п. 1 ст. 1183, применяются также к лицам предпенсионного возраста - женщинам, достигшим 55 лет, и мужчинам, достигшим 60 лет (ФЗ от 26.11.2001 N 147-ФЗ).

1. Право на получение подлежавших выплате наследодателю, но не полученных им при жизни по какой-либо причине сумм заработной платы и приравненных к ней платежей, пенсий, стипендий, пособий по социальному страхованию, возмещения вреда, причиненного жизни или здоровью, алиментов и иных денежных сумм, предоставленных гражданину в качестве средств к существованию, принадлежит проживавшим совместно с умершим членам его семьи, а также его нетрудоспособным иждивенцам независимо от того, проживали они совместно с умершим или не проживали.

2. Требования о выплате сумм на основании пункта 1 настоящей статьи должны быть предъявлены обязанным лицам в течение четырех месяцев со дня открытия наследства.

3. При отсутствии лиц, имеющих на основании пункта 1 настоящей статьи право на получение сумм, не выплаченных наследодателю, или при непредъявлении этими лицами требований о выплате указанных сумм в установленный срок соответствующие суммы включаются в состав наследства и наследуются на общих основаниях, установленных настоящим Кодексом.

Нужно представить доказательства принадлежности к членам семьи и совместного проживания с наследодателем.

Записи и совместного проживания? Или достаточно только записи? Отец с матерью развелись уже давно.