Как подтвердить факт постоянного проживания при оформлении наследства и получении льгот?

Данный факт подтверждается регистрацией вместе с ними. Если этого не было, то

практически живя у них дома

Последний год постоянно ухаживал за престарелыми родителями, практически живя у них дома

Это Ваш гражданский долг!

как и чем подтвердить факт "постоянного проживания"

Регистрацией по месту проживания родителей.

Добрый вечер Михаил! Действительно, физические лица освобождаются от уплаты госпошлины за выдачу свидетельств о праве на наследство при наследовании жилого дома, а также земельного участка, на котором расположен жилой дом, квартиры, комнаты или долей в указанном недвижимом имуществе, если эти лица проживали совместно с наследодателем на день смерти наследодателя и продолжают проживать в этом доме (этой квартире, комнате) после его смерти.

Нотариусу для получения указанной льготы необходимо представить документ, подтверждающий регистрацию по месту жительства, выданный органами регистрационного учета граждан, управляющими организациями, органами местного самоуправления.

Согласно ст. 20 ГК РФ Местом жительства признается место, где гражданин постоянно или преимущественно проживает.

также

ст. 2 Закона РФ от 25.06.1993 N 5242-1 (ред. от 08.12.2020) "О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации" дает определение места жительства - жилой дом, квартира, комната, жилое помещение специализированного жилищного фонда либо иное жилое помещение, в которых гражданин постоянно или преимущественно проживает в качестве собственника, по договору найма (поднайма), договору найма специализированного жилого помещения либо на иных основаниях, предусмотренных законодательством Российской Федерации, и в которых он зарегистрирован по месту жительства.