Могу ли я выбрать госпиталь в другом гарнизоне для операции по месту службы?

Вы не можете ничего выбирать.

Особенности реализации данного права военнослужащими сформулированы в ст. 21 Закона. 3.Военнослужащие и приравненные к ним лица имеют право на получение медицинской помощи в ведомственных медицинских организациях, а при их отсутствии или при отсутствии в ведомственных медицинских организациях отделений соответствующего профиля, специалистов либо специального медицинского оборудования — на получение медицинской помощи в порядке, установленном Правительством Российской Федерации, за счет бюджетных ассигнований федерального бюджета, предусмотренных на эти цели федеральным органам исполнительной власти и федеральным государственным органам, в которых федеральным законом предусмотрена военная служба или приравненная к ней служба. 4. Порядок организации медицинской помощи военнослужащим и приравненным к ним лицам устанавливается Правительством Российской Федерации, особенности организации оказания медицинской помощи военнослужащим и приравненным к ним лицам, в том числе порядок их освобождения от исполнения обязанностей военной службы (служебных обязанностей) в связи с заболеванием и иными причинами, устанавливаются федеральными органами исполнительной власти и федеральными государственными органами, в которых федеральным законом предусмотрена военная служба или приравненная к ней служба. Данный нюанс оговорен и в ст. 16 ФЗ «О статусе военнослужащих»

Стоит лишь разобраться в приведенной правовой норме. При отсутствии по месту военной службы или месту жительства военнослужащих либо по месту прохождения военных сборов гражданами, призванными на военные сборы, военно-медицинских организаций и (или) при отсутствии в них отделений соответствующего профиля, специалистов или специального медицинского оборудования, а также в экстренных или неотложных случаях военнослужащие и граждане, призванные на военные сборы, имеют право на получение медицинской помощи в медицинских организациях государственной системы здравоохранения и муниципальной системы здравоохранения.

Расходы, связанные с оказанием медицинской помощи военнослужащим и гражданам, призванным на военные сборы, в медицинских организациях государственной системы здравоохранения и муниципальной системы здравоохранения, возмещаются в порядке, установленном Правительством Российской Федерации, за счет средств федерального бюджета, предусмотренных на эти цели федеральным органам исполнительной власти, в которых федеральным законом предусмотрена военная служба. Причем под специальным медицинским оборудованием в контексте данных норм следует понимать то, использование которого безальтернативно предполагается для лечения конкретного заболевания. При отсутствии такого оборудования в ведомственном военно-медицинском учреждении военнослужащему должна быть оказана медицинская помощь по месту его нахождения.

При возможности альтернативного лечения — медицинская помощь подлежит оказанию по месту службы (жительства) в ВМУ, поскольку такая форма мед. обеспечения военнослужащих является первичной.

Нет, не можете, право на лечение реализуется по территориальному принципу.