Как сохранить право на пожизненное проживание для мамы, если она продаст свою квартиру и отдаст мне деньги?

Судя по тексту, сделать завещательный отказ.

ГК РФ.

"

Статья 1137. Завещательный отказ

1. Завещатель вправе возложить на одного или нескольких наследников по завещанию или по закону исполнение за счет наследства какой-либо обязанности имущественного характера в пользу одного или нескольких лиц (отказополучателей), которые приобретают право требовать исполнения этой обязанности (завещательный отказ).

Завещательный отказ должен быть установлен в завещании.

Содержание завещания может исчерпываться завещательным отказом.

2. Предметом завещательного отказа может быть передача отказополучателю в собственность, во владение на ином вещном праве или в пользование вещи, входящей в состав наследства, передача отказополучателю входящего в состав наследства имущественного права, приобретение для отказополучателя и передача ему иного имущества, выполнение для него определенной работы или оказание ему определенной услуги либо осуществление в пользу отказополучателя периодических платежей и тому подобное.

В частности, на наследника, к которому переходит жилой дом, квартира или иное жилое помещение, завещатель может возложить обязанность предоставить другому лицу на период жизни этого лица или на иной срок право пользования этим помещением или его определенной частью.

При последующем переходе права собственности на имущество, входившее в состав наследства, к другому лицу право пользования этим имуществом, предоставленное по завещательному отказу, сохраняет силу.

3. К отношениям между отказополучателем (кредитором) и наследником, на которого возложен завещательный отказ (должником), применяются положения настоящего Кодекса об обязательствах, если из правил настоящего раздела и существа завещательного отказа не следует иное.

4. Право на получение завещательного отказа действует в течение трех лет со дня открытия наследства и не переходит к другим лицам. Однако отказополучателю в завещании может быть подназначен другой отказополучатель на случай, если назначенный в завещании отказополучатель умрет до открытия наследства или одновременно с наследодателем, либо откажется от принятия завещательного отказа или не воспользуется своим правом на получение завещательного отказа, либо лишится права на получение завещательного отказа в соответствии с правилами пункта 5 статьи 1117 настоящего Кодекса".

Если я пропишу её в доме, будет ли за ней сохранено право на пожизненное проживание в случае смены собственника дома

Нет.

Как сохранить за ней право пожизненного пользования моим домом и проживания в нем на случай моей смерти или других непредвиденных ситуаций, чтобы ни мои дети, ни муж не могли её выселить

Продайте (подарите) ей долю в своём доме.