Вопрос об отработке срока при отсутствии подписанного трудового договора в случае работы в детском садике

могу я не отрабатывать 2 недели, если не подписан трудовой договор?

Не можете, так как у вас фактически уже установились трудовые отношения.

Кроме этого -

В трудовом законодательстве нет понятия "отрабатывать".

Работник желающий расторгнуть трудовой договор по собственному желанию обязан письменно ПРЕДУПРЕДИТЬ Р-теля за две недели. Ваша задача подать заявление и чтобы у вас осталось подтверждение, что заявление принято.

И чем работник будет заниматься эти две недели никого не должно волновать, лишь бы не прогуливал.

Трудовой кодекс РФ - Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

Если подходить к основанию возникновения трудовых отношений буквально с позиции Трудового кодекса, то трудовые отношения возникают между работником и работодателем на основании трудового договора, заключаемого ими в соответствии с настоящим Кодексом (ст.16)

Т.е. без договора нет и трудовых отношений. Однако работодатель может обратиться в суд, доказывая, что наличествуют фактические трудовые отношения - если Вы работали по определенному графику, выполняли определенную трудовую функцию и т.д.

вам не нужно отрабатывать 2 недели только в том случае, если работодатель согласится расторгнуть трудовой договор раньше. Если нет, то вы обязаны предупредить об увольнении за 2 недели. Отсутствие письменного трудового договора вовсе не говорит об отсуствии трудовых отношения