Может ли работодатель отказать в продлении отпуска из-за больничного?

Нет, не имеет право, если болеете.

Отпуск продлевается только по обоюдному согласию работника и работодателя, никакого автоматического продления нет. Если на момент окончания отпуска вы трудоспособны, то должны выйти на работу.

Так вы внимательно прочитайте ст.124 ТК РФ: "Ежегодный оплачиваемый отпуск должен быть продлен или перенесен на другой срок, определяемый работодателем с учетом пожеланий работника, в случаях:" - вы пожелание свое высказали, но всё зависит от мнения работодателя - он предоставит вам эти дни, но тогда, когда ему это удобно и с учётом ваших пожеланий.

Добрый день!

По умолчанию ежегодный отпуск продлевается автоматически на все дни болезни, которые пришлись на период этого отпуска. Основанием для продления является листок нетрудоспособности, который в случае болезни в период ежегодного отпуска формируется в общем порядке (п. 31 Порядка; п. 18 Правил, утв. НКТ СССР 30.04.1930 N 169).

Согласно ст. 124 (определение КС РФ от 25.04.2019 № 1064-О) работник может отгулять дни отпуска, которые пришлись на дни больничного, в том числе в другие дни и работодатель отказать не может!

Вы все сделали правильно, в вашем случае работодатель не имеет права ставить вам прогулы или неявки, это нарушение трудовых прав работника, можете обратиться в трудовую инспекцию с жалобой о давлении со стороны работодателя и отказа исполнять трудовые обязанности.