Как прописаться при части, если ранее отказались от комнаты в общежитии? Будет ли возможность быть прописанным при части, если у жены военнослужащего нет временной прописки?

Разумеется, да. Вы можете быть прописаны при в/ч.

В данном случае для начала обратимся к статье 15 ФЗ «О статусе военнослужащих»

3. Военнослужащие — граждане, проходящие военную службу по контракту, и члены их семей, прибывшие на новое место военной службы военнослужащих — граждан, до получения жилых помещений по нормам, установленным федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации, регистрируются по месту жительства, в том числе по их просьбе по адресам воинских частей. Указанным военнослужащим — гражданам и членам их семей до получения жилых помещений предоставляются служебные жилые помещения, пригодные для временного проживания, жилые помещения маневренного фонда или общежития.

Что, если данных помещений нет? Тогда выплачивается денежная компенсация:

В случае отсутствия указанных жилых помещений воинские части арендуют жилые помещения для обеспечения военнослужащих — граждан и совместно проживающих с ними членов их семей или по желанию военнослужащих — граждан ежемесячно выплачивают им денежную компенсацию за наем (поднаем) жилых помещений в порядке и размерах, которые определяются Правительством Российской Федерации.

Поэтому, если Вы откажетесь от проживания в общежитии, денежная компенсация за наем (поднаем) жилых помещений выплачиваться не будет.

В соответствии со статьей 105 ЖК РФ

ЖК РФ, Статья 105. Предоставление жилых помещений в общежитиях

1. Жилые помещения в общежитиях предоставляются из расчета не менее шести квадратных метров жилой площади на одного человека.