Как правильно поступить, если трудовой договор не подписан, а работу уже начали?

Есть трудовой договор в электронном виде, где написано, что я приступаю к работе с 16.02.23. но договор без моей подписи.

Я приступила к работе 16.02.23, а 22.02.23 передумала о дальнейшей работе в данной компании, так как меня не устроили рабочие условия (предоставлена некачественная компьютерная программа, дающая как оказывается неверную информацию), и полдня меня не было на рабочем месте (работа удаленная).

Договор все так же без моей подписи, но курьер везет его в бумажном виде, так как сказано было, что надо еще ручную подпись.

О своем решении уйти сказала своему руководителю в тот же день 22.02, мне сказали заполнить заявление об уходе в элетронном виде (которое потом привезет курьер в бумажном виде для ручной подписи) и заявление об отпуске за свой счет с 23.02 по 1.02. для чего нужно оформлять отпуск я не поняла, и мне не объяснили. Деньги мне от них не нужны, я отказываюсь от оплаты своего труда. Компания на мой отказ подписывать трудовой договор высказалась категорично, сказали что без отметки об увольнении меня не примут на другую работу. Но какая отметка об увольнении, если даже моей подписи-то на трудовом договоре нет, значит он недействителен? Как я могу тогда у них там числиться?

Вопрос вот в чем - трудовой договор мне действительно нужно подписывать? И почему компания не может его просто аннулировать за мой прогул (полдня 22.02) например? И что мне грозит, если я его не подпишу?