Могут ли дети, в возврате до 18 лет, подать заявление в 10 класс самостоятельно?

Нет, нужно заявление родителя.

Статьей 64 Семейного кодекса РФ защита прав и интересов детей возлагается на их родителей. Родители являются законными представителями своих детей и выступают в защиту их прав и интересов в отношениях с любыми физическими и юридическими лицами, в том числе в судах, без специальных полномочий.

Статьей 53 Федерального закона «Об образовании в Российской Федерации» установлено, что основанием возникновения образовательных отношений является распорядительный акт организации, осуществляющей образовательную деятельность, о приеме лица на обучение в эту организацию или для прохождения промежуточной аттестации и (или) государственной итоговой аттестации. В случае приема на обучение по образовательным программам дошкольного образования изданию распорядительного акта о приеме лица на обучение в организацию, осуществляющую образовательную деятельность, предшествует заключение договора об образовании.

В соответствии со статьей 54 Федерального закона «Об образовании в Российской Федерации» договор об образовании заключается в простой письменной форме между организацией, осуществляющей образовательную деятельность, и лицом, зачисляемым на обучение (родителями (законными представителями) несовершеннолетнего лица).