Возможно ли вносить запись о приеме на работу в ЭТК без трудового договора - что делать, если документ так и не предоставили?

Обратитесь с жалобой в ГИТ и к прокурору.

Если внесли в ЭТК, то вы трудоустроены.

Ну а что касается договора, то требуйте его, за отсутствие предусмотрена другая ответственность.

Работодатель должен вносить сведения о приёме работника на работу в трудовую книжку, в то же время требования ТК РФ обязывают работодателя оформить с работником ТД в письменном виде.

СМ.

ТК РФ Статья 16. Основания возникновения трудовых отношений

Трудовые отношения между работником и работодателем возникают также на основании фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя в случае, когда трудовой договор не был надлежащим образом оформлен.

ТК РФ Статья 67. Форма трудового договора

Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе,

Т.о.,

следует полагать, что Вы вступили в трудовые отношения с работодателем

на основании фактического допущения к работе с ведома работодателя, ТД считается заключённым в данном случае.

Работодатель (за исключением работодателей - физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями) ведет трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше пяти дней (ст. 66 ТК РФ)