Нужно ли отрабатывать две недели после увольнения, если есть неделя отпуска?

После? Или до?

Не нпдо. Отпуск учитывается в счёт отработки.

вы обязаны предупредить работодателя об увольнении за две недели. если в момент подачи заявления вы находитесь в ежегодном оплачиваемом отпуске и до выхода из отпуска на работу осталась неделя предусмотренное законом правило не меняется

Если отпуск по графику не попадает на период увольнения, то Вы просто получите компенсацию за неиспользованный отпуск, а две недели придётся отрабатывать. Однако это всё на усмотрение работодателя. Попробуйте договориться с ним.

После увольнения отрабатывать не нужно, а если заявление об увольнении написано в период отпуска, то отпуск входит в период отработки.

Вы обязаны предупредить работодателя об увольнении за две недели. В эти две недели может войти отпуск, больничный, отгулы.

Отпуск безусловно входит в период отработки при увольнении по инициативе работника. (Письмо Роструда от 04.12.2020 N ПГ/56783-6-1).

При увольнении в последний день отпуска особенностей нет - именно в этот день необходимо рассчитаться с работником и выдать ему трудовую книжку и другие документы. Если работник не придет за трудовой книжкой, следует направить ему уведомление о ее получении. Уволить работника по инициативе работодателя нельзя ни в оплачиваемом отпуске, ни в отпуске без сохранения зарплаты (ст. 81 Трудового кодекса РФ).

Не совсем понимаю вашего работодателя. Если вы нашли новую работу, посему он не желает уволить вас без отработки?