Можно ли просить суд компенсировать выигравшей стороне экспертизу за счёт бюджета?

Законом не предусмотрена возможность компенсации представительских расходов с бюджета.

Нет, нельзя. Оплата судебных расходов законом возлагается на проигравшую сторону, а не на государство.

судебных расходов возлагаются на проигравшую сторону, 

Материальное положение проигравшей стороны само по себе не влияет на присуждение судебных расходов, включая расходы на оплату услуг представителя. Согласно российскому законодательству (например, ст. 98 ГПК РФ, ст. 110 АПК РФ), судебные издержки распределяются пропорционально удовлетворенным требованиям истца, вне зависимости от финансового положения ответчика. Однако сторона вправе представить доказательства своего тяжелого материального положения, и суд может учесть это обстоятельство при определении размера взыскиваемых сумм. Например, ответчик может ходатайствовать перед судом о снижении суммы взыскания ввиду своей низкой платежеспособности, но решение остается на усмотрение суда. Что касается вопроса о компенсации стоимости экспертизы за счет бюджета: Порядок возмещения расходов на проведение судебной экспертизы. Согласно процессуальному законодательству (статья 96 Гражданского процессуального кодекса РФ): Если экспертиза была назначена судом, её стоимость изначально несет та сторона, которая заявляла ходатайство о назначении экспертизы либо обе стороны поровну. Впоследствии затраты на экспертизу подлежат возмещению согласно правилам распределения судебных расходов. Однако закон допускает компенсацию расходов за счет государства лишь в исключительных случаях, предусмотренных законом (например, освобождение отдельных категорий лиц от уплаты госпошлины). Таким образом, выиграть сторону, понесшую расходы на судебную экспертизу, нельзя обязать оплачивать экспертизу за счет бюджетных средств. Исключение составляют случаи освобождения сторон от оплаты по закону, например, льготы для ветеранов, инвалидов и иных социально защищенных групп населения. Итак, правила возмещения судебных расходов предполагают возмещение расходов за счет проигравшей стороны, а компенсация за счет бюджета возможна лишь в установленных законом особых ситуациях.

Влияет ли материальное положение проигравшей стороны в вопросе компенсации за услуги представителя?

Ирина, нет, не влияет. НО! Судебная практика такова, что суд в подавляющем большинстве дел снижает размер расходов на представителя. Обязательно подайте в суд возражения с просьбой снизить размер расходов. При составлении возражений ориентируйтесь на Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 21.01.2016 N 1 "О некоторых вопросах применения законодательства о возмещении издержек, связанных с рассмотрением дела"

Можно ли просить суд компенсировать выигравшей стороне экспертизу за счёт бюджета?

Суд, а также мировой судья может освободить гражданина с учетом его имущественного положения от уплаты расходов, предусмотренных частью первой настоящей статьи, или уменьшить их размер. В этом случае расходы возмещаются за счет средств соответствующего бюджета

Проигравший платит, причем тут бюджет

Предварительно следует направить письменную досудебную претензию, в целях урегулирования спора.

В противном случае возможно предъявить иск в суд о возмещения ущерба (ст.15 ГК РФ), прочих расходов и убытков, компенсации морального вреда (ст.151 ГК РФ), в судебном порядке.

Всего доброго Вам!