Мы имеем кооперативную квартиру, пай полностью выплачен

Являетесь. Приватизации и быть не может, имущество ни когда не являлось собственностью государства или муниципального образования. Приватизация - это переход права собственности на государственное или муниципальное имущество в собственность иных лиц (граждан или юридических лиц).

ГК РФ.

"Статья 218. Основания приобретения права собственности

1. Право собственности на новую вещь, изготовленную или созданную лицом для себя с соблюдением закона и иных правовых актов, приобретается этим лицом.

Право собственности на плоды, продукцию, доходы, полученные в результате использования имущества, приобретается по основаниям, предусмотренным статьей 136 настоящего Кодекса.

2. Право собственности на имущество, которое имеет собственника, может быть приобретено другим лицом на основании договора купли-продажи, мены, дарения или иной сделки об отчуждении этого имущества.

В случае смерти гражданина право собственности на принадлежавшее ему имущество переходит по наследству к другим лицам в соответствии с завещанием или законом.

В случае реорганизации юридического лица право собственности на принадлежавшее ему имущество переходит к юридическим лицам - правопреемникам реорганизованного юридического лица.

3. В случаях и в порядке, предусмотренных настоящим Кодексом, лицо может приобрести право собственности на имущество, не имеющее собственника, на имущество, собственник которого неизвестен, либо на имущество, от которого собственник отказался или на которое он утратил право собственности по иным основаниям, предусмотренным законом.

4. Член жилищного, жилищно-строительного, дачного, гаражного или иного потребительского кооператива, другие лица, имеющие право на паенакопления, полностью внесшие свой паевой взнос за квартиру, дачу, гараж, иное помещение, предоставленное этим лицам кооперативом, приобретают право собственности на указанное имущество".