Права и обязанности при прописке в приватизированную квартиру - что ждет меня по смерти болеющего раком двоюродного брата?

Будете иметь право пользования квартирой. Наследники смогут признать утратившей это право через суд.

если Вы откажитесь выписываться, а они вступят в наследство и оформят право собственности на себя, то они имеют право выписать Вас в судебном порядке

Права на квартиру Вы не приобретете, если он не подарит Вам долю или не оставит завещание. Наследники вправе выселить Вас из квартиры в судебном порядке после принятия наследства.

Нет, не обязаны. Но суд может выселить вас по иску наследника, т.к. при перемене собственника право пользования за бывшими членами семьи собственника не сохраняется. Однако если у вас будет договор найма на определённый срок я хозяином квартиры, вы можете настаивать в суде на проживании до окончания срока. Но и договор найма может быть расторгнут в суде по иску наследника если найдутся основания.

Мой двоюродный брат болен раком, предлагает мне прописку без права собственности к себе в приватизированную квартиру. В случае его возможной смерти, какие права я буду иметь? Обязана ли я буду сразу же выписаться по первому требованию его наследников?

Ольга, никаких прав иметь не будете.

Обязана ли я буду сразу же выписаться по первому требованию его наследников?

Ольга, можете пожить ещё 6 месяцев до вступления родственников в наследство.