Проболела 5 мес. в первый рабочий день предложено уволиться по собственному желанию.

Вы вправе не увольняться по собственному желанию.

Незаконно, так как первый рабочий день считается днем зачисления на работу согласно трудовому договору. Вопрос, конечно, в том есть ли у Вас на руках заключенный трудовой договор и надлежащим образом оформленный больничный. Если есть, то отказывайтесь писать заявление об увольнении.

Если же Вы не соответствуете требованиям на данную должность по медицинским показаниям (требования по здоровью к работнику должны быть указаны в должностной инструкции), то требуйте соблюдения всех гарантий, в частности предоставления вакантной должности, которой Вы соответствуете.

Статья 182. Гарантии при переводе работника на другую нижеоплачиваемую работу

182 Трудового кодекса РФ

При переводе работника, нуждающегося в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации, в предоставлении другой работы, на другую нижеоплачиваемую работу у данного работодателя за ним сохраняется средний заработок по прежней работе в течение одного месяца со дня перевода, а при переводе в связи с трудовым увечьем, профессиональным заболеванием или иным повреждением здоровья, связанным с работой, - до установления стойкой утраты профессиональной трудоспособности либо до выздоровления работника.