Может ли мать-одиночка получить жилье, не имея местной прописки?

К сожалению, нет.

Закон Краснодарского края от 5 ноября 2002 года N 532-КЗ

Статья 14.1. Порядок и условия предоставления земельных участков для индивидуального жилищного строительства или ведения личного подсобного хозяйства гражданам, имеющим трех и более детей 1. Граждане (один из родителей), имеющие трех и более детей, имеющих гражданство Российской Федерации, однократно без торгов и предварительного согласования мест размещения объектов имеют право на предоставление им в аренду земельного участка, находящегося в государственной или муниципальной собственности, для индивидуального жилищного строительства или для ведения личного подсобного хозяйства в границах населенного пункта (приусадебный земельный участок) в размере, установленном органом местного самоуправления городского округа (поселения), при соблюдении следующих условий: 1) ни одному из таких родителей на территории муниципального района (городского округа, в том числе вошедшего в состав муниципального района в процессе преобразования) Краснодарского края, в границах которого испрашивается земельный участок, согласно информации, полученной органами местного самоуправления из Единого государственного реестра прав на недвижимое имущество и сделок с ним, из государственного кадастра недвижимости, из похозяйственных книг и иных правоустанавливающих документов, ранее не предоставлялись в собственность бесплатно, в постоянное (бессрочное) пользование, пожизненное наследуемое владение земельные участки, предназначенные для индивидуального жилищного строительства, для ведения личного подсобного хозяйства, в границах населенного пункта (приусадебные земельные участки), садоводства, огородничества; 2) гражданин (далее — заявитель) на момент подачи заявления в течение последних пяти лет должен быть зарегистрирован по месту жительства на территории муниципального района (городского округа, в том числе вошедшего в состав муниципального района в процессе преобразования) Краснодарского края, в границах которого испрашивается земельный участок;