Какой статус получит квартиросъемщик после смерти отца? И какие последствия грозят членам семьи, если квартира не приватизирована?

Можете переоформить на любого члена семьи. Никаких преимуществ данный статус не предоставляет. Все члены семьи (и бывшие) имеют право пользоваться данным жильем (ст. 969 ЖК РФ)

Если в квартире проживали отец, мать и двое их детей, причем субъектом договора социального найма со стороны их семьи был отец, то после его смерти мать имеет право предъявить требование о возведении ее в статус нанимателя вместо скончавшегося отца.

В этой ситуации за таким членом семьи скончавшегося гражданина и другими членами его семьи сохраняется весь первоначальный объем прав, который имелся у них в период жизни скончавшегося нанимателя, включая право проживать в этой квартире и распоряжаться ею иными предусмотренными законом способами.

Наследованию подлежит имущество, находящееся в собственности гражданина. Пока квартира не приватизирована, ни о каком наследовании речи быть не может. Прописка в такой квартире означает лишь право пользования ею, т.е.пользоваться квартирой после смерти отца будут только те, кто в ней прописан, они же имеют право на приватизацию.

Ну мое личное мнение конечно приватизировать, но многие хотят и дальше проживать в муниципальной квартире. Это дело личное каждого. Сейчас Вы можете подать заявление на изменение договора соц. найма в связи со смертью одного из нанимателей. Кто станет ответственным квартиросъемщиком - роли не играет