Может ли моя организация уволить меня по истечению трудового договора, если я беременна?

нет, поскольку Вы беременны, Вам обязаны продлить срочный договор, уволить Вас не имеют права.

Очень странная реакция у Вашего работодателя. Ст. 261 ТК РФ не позволяет ему таким образом продлевать трудовой договор. После выхода основного работника Вам должны были быть предложены другие должности и если бы Вы согласились на них, то Вас бы перевели (а в отсутствие Вашего согласия - уволили бы).

То, что сделал работодатель закону не соответствует (кроме случаев, когда Вы добровольно подписали дополнительное соглашение о переводе на новую должность на условиях срочного трудового договора)

Вам должны продлить договор до окончания беременности (ст. 261 ТК РФ)

Допускается увольнение женщины в связи с истечением срока трудового договора в период ее беременности, если трудовой договор был заключен на время исполнения обязанностей отсутствующего работника и невозможно с письменного согласия женщины перевести ее до окончания беременности на другую имеющуюся у работодателя работу (как вакантную должность или работу, соответствующую квалификации женщины, так и вакантную нижестоящую должность или нижеоплачиваемую работу), которую женщина может выполнять с учетом ее состояния здоровья. При этом работодатель обязан предлагать ей все отвечающие указанным требованиям вакансии, имеющиеся у него в данной местности. Предлагать вакансии в других местностях работодатель обязан, если это предусмотрено коллективным договором, соглашениями, трудовым договором.