Не хотелось бы просто "забыть" 1,5 года работы и начинать с нуля трудовую и нужно ли мне писать эти объяснительные?

К сожалению Вам необходимо доказать что заявление на увольнение по собственному желанию Вы не просто писали, а что оно было доставлено работодателю, ст. 80 ТК РФ -

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

В тот момент вам нужно было продублировать заявление заказной телеграммой. В общем если у Вас отсутствуют доказательства того, что вы за две недели в письменном виде подали заявление на увольнение, то скорей всего оспорить увольнение за прогул не получится.

Попробуйте договорится, чтобы работодатель внес изменения в трудовую книжку.

Если пожелаете все таки судиться, то ни в коем случае не пишите объяснительную, т.к. увольнение незаконно если его произвели до того, как у Вас отобрали объяснения по поводу Вашего отсутствия, ст. 193 ТК РФ -

До применения дисциплинарного взыскания работодатель должен затребовать от работника письменное объяснение. Если по истечении двух рабочих дней указанное объяснение работником не предоставлено, то составляется соответствующий акт.

И один этот факт будет являтся 100% основанием для Вашего восстановления на рабочем месте.

И как вариант, для подтверждения уважительности причины отсутствия на рабочем месте можно предоставлять иные документы. Например заключение врачей, что болели или иные документы.

По поводу компенсации сложно сказать.

Если ранее банк вам НЕЗАКОННО не начислял коэффициент или "полярки" на часть заработной платы, то Вы, конечно, имеете все основания требовать вернуть Вам неначисленное. Если же это дополнительная выплата, которую работодатель назначил самостоятельно и, т.с. улучшил положение работника, то в данном случае работодатель имеет право сам выбирать категории работников, которым положена данная выплата. И, например, уволенным не платить ее.