Нужно ли писать заявление о досрочном выходе из отпуска, как оно оформляется?

Да вы вправе выйти на работу в ЛЮБОЕ время и ссылки работодателя на то, что на вашем месте сейчас работает другой человек не обоснованы, т.к. его должны были принимать временно на период Вашего отсутствия, Вы также вправе работать на условиях неполного рабочего времени, если работодатель на это согласится, ст. 256 ТК РФ -

По заявлению женщины ей предоставляется отпуск по уходу за ребенком до достижения им возраста трех лет. Порядок и сроки выплаты пособия по государственному социальному страхованию в период указанного отпуска определяются федеральными законами.

Отпуска по уходу за ребенком могут быть использованы полностью или по частям также отцом ребенка, бабушкой, дедом, другим родственником или опекуном, фактически осуществляющим уход за ребенком.

По заявлению женщины или лиц, указанных в части второй настоящей статьи, во время нахождения в отпусках по уходу за ребенком они могут работать на условиях неполного рабочего времени или на дому с сохранением права на получение пособия по государственному социальному страхованию.

На период отпуска по уходу за ребенком за работником сохраняется место работы (должность).

Отпуска по уходу за ребенком засчитываются в общий и непрерывный трудовой стаж, а также в стаж работы по специальности (за исключением случаев досрочного назначения трудовой пенсии по старости).