Возможен ли отказ в выплате пенсии по старости при задержке подачи документов на 4 месяца?

В общем случае - да.

Федеральный закон от 28 декабря 2013 г. N 400-ФЗ

"О страховых пенсиях"

"Статья 22. Сроки назначения страховой пенсии

1. Страховая пенсия

назначается со дня обращения за указанной пенсией,

за исключением случаев, предусмотренных частями 5 и 6 настоящей статьи, но во всех случаях не ранее чем со дня возникновения права на указанную пенсию.

5. Страховая пенсия назначается ранее дня обращения за страховой пенсией, определенного частью 2 настоящей статьи, в следующих случаях:

1) страховая пенсия по старости - со дня, следующего за днем увольнения с работы, если обращение за указанной пенсией последовало не позднее чем через 30 дней со дня увольнения с работы;

2) страховая пенсия по инвалидности - со дня признания лица инвалидом, если обращение за указанной пенсией последовало не позднее чем через 12 месяцев с этого дня;

3) страховая пенсия по случаю потери кормильца - со дня смерти кормильца, если обращение за указанной пенсией последовало не позднее чем через 12 месяцев со дня его смерти, а при превышении этого срока - на 12 месяцев раньше того дня, когда последовало обращение за указанной пенсией.

6. Страховая пенсия по старости лицу, получающему страховую пенсию по инвалидности, достигшему возраста для назначения страховой пенсии по старости, предусмотренного частью 1 статьи 8 настоящего Федерального закона, имеющему не менее 15 лет страхового стажа и величину индивидуального пенсионного коэффициента не менее 30, назначается со дня достижения им указанного возраста без истребования от него заявления о назначении страховой пенсии по старости на основании данных, имеющихся в распоряжении органа, осуществляющего пенсионное обеспечение. Орган, осуществляющий пенсионное обеспечение, в течение 10 рабочих дней со дня вынесения решения о назначении страховой пенсии по старости извещает данное лицо о назначении ему страховой пенсии по старости".