Влияет ли отсутствие регистрации на возможность трудоустройства в Москве?

Нет у работодателя такого права.

Здравствуйте, Ксения!

Запрещается необоснованный отказ в заключении трудового договора.

Какое бы то ни было прямое или косвенное ограничение прав или установление прямых или косвенных преимуществ при заключении трудового договора в зависимости от пола, расы, цвета кожи, национальности, языка, происхождения, имущественного, семейного, социального и должностного положения, возраста, места жительства (в том числе наличия или отсутствия регистрации по месту жительства или пребывания), отношения к религии, убеждений, принадлежности или не принадлежности к общественным объединениям или каким-либо социальным группам, а также других обстоятельств, не связанных с деловыми качествами работников, не допускается, за исключением случаев, в которых право или обязанность устанавливать такие ограничения или преимущества предусмотрены федеральными законами. (ст .64. ТК РФ).

По требованию лица, которому отказано в заключении трудового договора, работодатель обязан сообщить причину отказа в письменной форме.

Отказ в заключении трудового договора может быть обжалован в суд. (ст. 64 ТК РФ).

Если суд признает отказ необоснованным, то работодателя могут обязать заключить с соискателем трудовой договор и оплатить ему время вынужденного прогула (абз. 6 ч. Второй ст. 16, ст. 234 ТК РФ), а также возместить ему моральный ущерб.