Есть вероятность, что составлено завещание на посторонних людей (или украдено приватизационное свидетельство).

Если есть завещание, то вы сможете претендовать только если нетрудоспособный (пенсионер, инвалид). Если завещания нет - то наследуют супруга, дети (вы в том числе), родители. Вы будете освобождены от уплаты налога на наследство - так как прописаны в квартире.

Подайте заявление нотариусу о принятии наследства в течение 6 месяцев. Что там не проживали, лучше не упоминать. Прописка означает проживание. Через 6 месяцев нотариус выдаст свидетельство, затем обязательно госрегистрация права собсвтенности на квартиру.

По поводу возмещения ущерба - наследники отвечают по долгам наследодателя в пределах действительной стоимости наследственного имущества. Сопоставьте долги и стоимость (рыночную) квартиры и подумайте. стоит вам принимать наследство или нет. Кстати, так как вы там прописаны, то могут вас счесть фактичсеки принявшим наследство. В этом случае нужно будет оформить отказ, чтобы иск к вам не был предъявлен.

В дополнение к развернутому ответу, данному на Ваш вопрос моей коллегой Саломатовой Т.В., сообщаю, что несмотря на то, что Ваши родители развелись (давность развода роли не играет) Вы, в силу ст. 1142 ГК РФ являетесь наследником первой очереди. Развод родителей не означает аннулирования Вашего к отцу сыновьего родства, которое Вы будете обязаны доказать нотариусу при подаче заявления о принятии наследства. Например, предъявите нотариусу свидетельство о рождении.