Я должна в таком случае в данный момент потребовать трудовой договор или он заключается после испытательного срока!

Должны. На самом деле испытательный срок - всего лишь условие уже заключенного договора, соответственно, просто указывается в договоре.

ТК РФ.

"Статья 70. Испытание при приеме на работу

При заключении трудового договора в нем по соглашению сторон может быть предусмотрено условие об испытании работника в целях проверки его соответствия поручаемой работе.

Отсутствие в трудовом договоре условия об испытании означает, что работник принят на работу без испытания. В случае, когда работник фактически допущен к работе без оформления трудового договора (часть вторая статьи 67 настоящего Кодекса), условие об испытании может быть включено в трудовой договор, только если стороны оформили его в виде отдельного соглашения до начала работы.

В период испытания на работника распространяются положения трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, коллективного договора, соглашений, локальных нормативных актов".

Трудовой договор должен быть оформлен работодателем в течение 3-х рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе (ст. 67 ТК РФ). Отсутствие в нем условия об испытании означает, что работник принят без испытания. Следовательно, и уволить такого работника за непрохождение испытательного срока уже нельзя.