Или она автоматически переходит деду, и когда нибудь потом перейдет внуку?

Если внук хотел получить долю бабушки, то должен был принять наследство - подачей заяваления нотариусу по месту жительства, либо фактически вступив в наследство, например, проживая в этой квартире, оплачивая ее. Если он этого не сделал в тчение 6 месяцев, то пропустил срок на принятие наследства - либо восстановить в суде, либо все-таки доказать факт принятия наследства в суде.

Но если это сделать тяжело, то можно оформить на деда, который фактически принял наследство по закону. Если приватизация совместная - то сначала нужно выделить долю. Но можно, конечно подождать и оформить после смерти деда. Но дед может и передумать и отменить завещание.

Кстати, по завещанию высокий налог, если внук не проживает в квартире.

Законом установлен срок 6 месяцев для принятия наследства (ст. 1154 Гражданского кодекса РФ), в течение которых законные представители ребенка (родители) должны были обратиться к нотариусу для принятия наследства после бабушки. Теперь восстановление срока для принятия наследства возможно только в судебном порядке. Кроме того, наследство возможно принять своими действиями, то есть такие факты как проживание в квартире, оплата коммунальных платежей, и даже сам факт регистрации по месту жительства в квартире, переходящей по наследству, доказывают принятие наследником наследного имущества (ст. 1153 ГК РФ). Однако для признания права собственности на наследное имущество, тем не менее, придется обратиться в суд.

С другой стороны, поскольку внук своевременно не принял наследство, наследуют наследники по закону, принявшие наследство. Наследниками по закону первой очереди являются родители, супруг и дети наследодателя (ст.1142 ГК РФ). Из всех возможных, насколько я понимаю, наследство (своими действиями) фактически принял только супруг бабушки. Тем не менее, и его право собственности надо оформить (ничего автоматически не происходит), поскольку, возможно, нотариус сочтет его принявшим наследство, и можно будет избежать судебных процедур. Тогда после дедушки внук будет иметь право наследовать все то, что ему положено согласно завещанию первого. С уважением,