Как следует поступать в данной ситуации, можно ли продолжать процесс продажи комнаты, не взирая на их претензии?

Право преимущественной покупки (ст. 250 ГК РФ), принадлежит ТОЛЬКО участникам долевой собственности, к числу которых не относятся наниматели муниципальных комнат и члены их семей. Так что согласие соседей на продажу Вашей комнаты не требуется, и судебной перспективы в их деле нет. Однако, если они готовы заплатить за Вашу комнату рыночную стоимость, почему бы не продать комнату соседям? Имеете полное права продать (но не обязанность), а они имеют полное право купить.

Каждый имеет право свободно распоряжаться своей собственностью. Между тем закон устанавливает определенный порядок распоряжения долевой собственностью. В частности, ст. 250 Гражданского кодекса предусматривает преимущественное право покупки доли собственности вторым сособственником квартиры. Так при продаже доли в праве долевой собственности постороннему лицу остальные участники долевой собственности имеют преимущественное право покупки продаваемой доли по цене, за которую она продается, и на прочих равных условиях, кроме случая продажи с публичных торгов.

Продавец доли обязан известить в письменной форме остальных участников долевой собственности о намерении продать свою долю постороннему лицу с указанием цены и других условий, на которых продает ее. Если остальные участники долевой собственности откажутся от покупки или не приобретут продаваемую долю в праве собственности на недвижимое имущество в течение месяца, продавец вправе продать свою долю любому лицу. При продаже доли с нарушением преимущественного права покупки любой другой участник долевой собственности имеет право в течение трех месяцев требовать в судебном порядке перевода на него прав и обязанностей покупателя.

С уважением,