Плачу только я. Скажите, пожалуйста, какие я имею права на эту квартиру или какую ее часть?

Михаил, здравствуйте!

«…какие я имею права на эту квартиру или какую ее часть? …»

Квартира является частной собственностью тещи, права собственности на квартиру (её часть) Вы не имеете.

«Могут ли меня без моего ведома выписать?»

С января 2004-го года в Украине прописки не существует, а регистрация («… внесение сведений в паспортный документ о месте проживания или месте пребывания …») производится в соотв. с Законом Украины «О свободе перемещения и свободный выбор места проживания в Украине» (далее – Закон).

Порядок снятия с регистрации места проживания регламентирован статьей 7 Закона:

«Стаття 7. Зняття з реєстрації місця проживання

Зняття з реєстрації місця проживання здійснюється протягом семи днів на підставі заяви особи, запиту органу реєстрації за новим місцем проживання особи, остаточного рішення суду (про позбавлення права власності на житлове приміщення або права користування житловим приміщенням, визнання особи безвісно відсутньою або померлою), свідоцтва про смерть.

...

У разі якщо особа з поважної причини не може самостійно звернутися до органу реєстрації, зняття з реєстрації місця проживання може бути здійснено за зверненням іншої особи та на

підставі доручення, посвідченого в установленому порядку.

Зняття з реєстрації місця проживання неповнолітніх, які не мають батьків, та осіб, стосовно яких встановлено опіку чи піклування, здійснюється за погодженням з органами опіки і піклування».

То есть "...без Вашего ведома выписать..." (снять с регистрации) проблематично, но возможно (например, когда без "по каким-либо причинам" Вашего участия будет соответствующее "окончательное решение суда").