После какого срока квартира может перейти государству и кто обладает полномочиями на квартиру на данный момент?

Имущество на которое никто не предъявил своих прав называется вымороченным. Государство вправе предъявить на такое имущество свои права. Срок сейчас назвать не смогу.

Выморочное имущество в виде расположенного на территории Российской Федерации жилого помещения, если свидетельство о праве на наследство на данное жилое помещение не выдано до дня вступления в силу Федерального закона от 29.11.2007 N 281-ФЗ, переходит в порядке наследования по закону в собственность муниципального образования, в котором данное жилое помещение расположено, а если оно расположено в субъекте Российской Федерации - городе федерального значения Москве или Санкт-Петербурге, - в собственность такого субъекта Российской Федерации. Данное жилое помещение включается в соответствующий жилищный фонд социального использования (Федеральный закон от 29.11.2007 N 281-ФЗ).

Порядок наследования и учета выморочного имущества, переходящего в порядке наследования по закону в собственность Российской Федерации, а также порядок передачи его в собственность субъектов Российской Федерации или в собственность муниципальных образований определяется законом.

Сын, либо любой другой наследник, вправе обратиться в суд с заявлением об установлении факта принятяи наследства после смерти отца и признании права собственности на нее.