Он по завещанию оставил квартиру дочери, хотя она там не прописана.

сколько супруге лет? если она пенсионерка, находилась на иждивении мужа, то не смотря на завещание имеет обязательную долю в наследстве. Отсутствие регистрации по месту нахождения данной квартиры не влияет на право наследования! Собственнику принадлежит триада прав- право пользования, право владения и право распоряжения. В данном случае собственник распорядился по своему усмотрения в рамках закона своим имуществом, оставив завещание

Если отец жив, то оспаривать завещание его жена (бывшая жена) и сын не вправе.

Право на обязательную долю имеет не только жена, но и сын наследодателя, если он на момент смерти своего отца был (будет) невосершеннолетним или нетрудоспособным. Для вступления в наследство в этом случае оспаривать завещание не нужно, а нужно обратитьс к нотариусу с заявлением о принятии наследства.

Если пай (часть пая) за квартиру были выплачены в браке, то супруга имеет право на раздел этой квартиры (на 1/2).

Завещатель вправе по своему усмотрению завещать имущество любым лицам, любым образом определить доли наследников в наследстве, лишить наследства одного, нескольких или всех наследников по закону, не указывая причин такого лишения. Завещатель вправе отменить или изменить совершенное завещание. Завещатель не обязан сообщать кому-либо о содержании, совершении, об изменении или отмене завещания.

Свобода завещания ограничивается правилами об обязательной доле в наследстве. Несовершеннолетние или нетрудоспособные дети наследодателя, его нетрудоспособные супруг и родители, а также нетрудоспособные иждивенцы наследодателя (на момент смерти), наследуют независимо от содержания завещания не менее половины доли, которая причиталась бы каждому из них при наследовании по закону (обязательная доля).

Принадлежащее пережившему супругу наследодателя в силу завещания или закона право наследования не умаляет его права на часть имущества, нажитого во время брака с наследодателем и являющегося их совместной собственностью. Доля умершего супруга в совместно нажитом имуществе, входит в состав наследства и переходит к наследникам по закону или завещанию.