Столкнулась с претензиями по поводу нарушения авторских прав в мобильном приложении - как решить проблему без суда?

Здравствуйте.

Статья 1255. Авторские права

1. Интеллектуальные права на произведения науки, литературы и искусства являются авторскими правами.

2. Автору произведения принадлежат следующие права:

1) исключительное право на произведение;

2) право авторства;

3) право автора на имя;

4) право на неприкосновенность произведения;

5) право на обнародование произведения.

Информация об изменениях:

Федеральным законом от 12 марта 2014 г. N 35-ФЗ в пункт 3 статьи 1255 настоящего Кодекса внесены изменения, вступающие в силу с 1 октября 2014 г.

См. текст пункта в предыдущей редакции

3. В случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, автору произведения наряду с правами, указанными в пункте 2 настоящей статьи, принадлежат другие права, в том числе право на вознаграждение за служебное произведение, право на отзыв, право следования, право доступа к произведениям изобразительного искусства.

Нужно сайт смотреть.

Они не имеют никаких прав на размещенный вами текст. Текст был опубликован Вами, и не важно что написано у них на сайте - авторское право принадлежит тому кто его первый опубликовал. Тем более вы не должны им ничего платить. Более того, за такие угрозы они и сами могут неплохо поплатиться, т.к. пытаются присвоить Ваше право. Можете смело ответить что они вправе обратиться в суд и сделайте ссылку на статью 1255 ГК РФ.