Нарушены ли права многодетной матери, уволенной по собственному желанию без объяснений, и куда обратиться?

Конечно, ваши права нарушены. Вам нужно обращаться в суд, требовать экспертизу заявления. В заявлении должна быть указана не только дата его написания, но и желаемая дата увольнения. Определять её по своему усмотрению работодатель не вправе. Работник обязан уведомить работодателя не менее чем за две недели. А значит может предупредить и за две недели и за три и за пять. Определить дату увольнения имеет право только работник по определению (Ст. 80 ТК РФ). Работник расторгает трудовой договор, а не работодатель. Работодатель оформляет расторжение на основании данных заявления.

Ваши трудовые права конечно нарушены.

Вам следует собрать волю в кулак и выйти на работу, указав при этом что Вы передумали увольняться, поскольку работник имеет право в течение 14 дн. с даты написания отозвать свое заявление об увольнении без указания причин.

Если 14 дн. прошло, восстановиться на работе можно можно только через суд, доказав, что заявление об увольнении написано Ваши 4 года назад, при приеме на работу. (У вас есть реальная возможность в суде доказать, что заявление об увольнении написано 4 г. назад, а не сегодня, проведя экспертизу).

Трудовую книжку, полный расчет Вам должны были выдать в последний рабочий день.

Если у Вас есть сила воли и желание добиться справедливости, напишите работодателю заявление, что пойдете в суд, в прокуратуру и напишите в трудовую инспекцию, и расскажите как данный работодатель принимает на работу работников (заставляет писать заявление об уходе с открытой датой), и готовы отстаивать свои права в суде.