Могут ли меня уволить за дремоту на рабочем месте и есть ли связь с предложением об увольнении по собственному желанию?

Нет, не могут Ва вынудить. А если и вынудят, то восстановитесь через суд. с.т 392 ТК РФ. Поскольку заявление должно быть по Вашей воле. Однако, могут потребовать объясниельную и рассмотреть вопрос о вынесении дисциплинарного взыскания. Удачи!

Нет конечно.

Принуждение незаконно.

В трудовую инспекцию, либо суд обратитесь с исковым заявлением.

ТК РФ, Статья 391. Рассмотрение индивидуальных трудовых споров в судах

В судах рассматриваются индивидуальные трудовые споры по заявлениям работника, работодателя или профессионального союза, защищающего интересы работника, когда они не согласны с решением комиссии по трудовым спорам либо когда работник обращается в суд, минуя комиссию по трудовым спорам, а также по заявлению прокурора, если решение комиссии по трудовым спорам не соответствует трудовому законодательству и иным актам, содержащим нормы трудового права.

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Непосредственно в судах рассматриваются индивидуальные трудовые споры по заявлениям:

работника - о восстановлении на работе независимо от оснований прекращения трудового договора, об изменении даты и формулировки причины увольнения, о переводе на другую работу, об оплате за время вынужденного прогула либо о выплате разницы в заработной плате за время выполнения нижеоплачиваемой работы, о неправомерных действиях (бездействии) работодателя при обработке и защите персональных данных работника;

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

работодателя - о возмещении работником ущерба, причиненного работодателю, если иное не предусмотрено федеральными законами.

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Непосредственно в судах рассматриваются также индивидуальные трудовые споры:

об отказе в приеме на работу;

лиц, работающих по трудовому договору у работодателей - физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями, и работников религиозных организаций;

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

лиц, считающих, что они подверглись дискриминации.

Никто Вас не может заставить уволиться, тем более это не зафиксировано. Срок применения дисциплинарного взыскания один месяц со дня обнаружения.

Что касается сокращения, в данном случае это не основания Вас сократить, в данном случае происходит сокращение должности или единицы. Данная процедура требует строгого оформления по ТК РФ.

ТК РФ, Статья 180. Гарантии и компенсации работникам при ликвидации организации, сокращении численности или штата работников организации

О предстоящем увольнении в связи с ликвидацией организации, сокращением численности или штата работников организации работники предупреждаются работодателем персонально и под роспись не менее чем за два месяца до увольнения.

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Работодатель с письменного согласия работника имеет право расторгнуть с ним трудовой договор до истечения срока, указанного в части второй настоящей статьи, выплатив ему дополнительную компенсацию в размере среднего заработка работника, исчисленного пропорционально времени, оставшемуся до истечения срока предупреждения об увольнении

В любом случае решать Вам.

Всего хорошего.