Как решить проблему отсутствия возможности уволиться с работы из-за семейных обстоятельств и наличия двух маленьких детей?

По согласованию с работодателем или при наличии уважительной причины Вас могут отпустить раньше.

ТК РФ, Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)

...

По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

Вы имеете право подать заявление о предоставлении Вам отпуска по уходу за вторым ребенком (которому 2 года 7 месяцев) до достижения им возраста 3-х лет и работодатель обязан вам его предоставить.

К заявлению надо приложить документы - копию свидетельства о рождении и справку о том, что отец ребенка не находится в аналогичном отпуске.

Вы вправе неоднократно уходить в этот отпуск и возвращаться из него.

Вам положено денежное пособие.

После выдачи Вам копии приказа о предоставлении вам отпуска и находясь в отпуске Вы можете направить заказной почтой с уведомлением заявление об увольнении Вас с работы

через 14 дней после подачи заявления.

Если Вы планируете устроиться на новую работу, то можете устроиться по гражданско-правовому договору подряда, поработать две недели или месяц или больше и выяснить подходит ли вам работа и будет ли новый работодатель исполнять свои обещания по размеру оплаты труда. Потом вы сможете оформить трудовой договор.

Работодатель может уволить работника по соглашению сторон в день подачи им заявления об увольнении либо в любой срок (через два дня или в иной срок) до истечения двухнедельного срока, если пожелает это сделать, а может заставить отрабатывать две недели.

Был один случай, когда работник заболел, взял больничный лист, подал в этот же день заявление об увольнении с работы, а болел две недели, не выходил на работу. Работодатель, после предоставления ему через две недели больничного листа, издал приказ об увольнении с работы.