Как заключение договора аренды жилья может повлиять на размер алиментов?

Насколько я поняла из Вашего вопроса жилье не приватизировано. Собственником скорее всего является орган местного самоуправления и вы скорее всего проживаете по договору социального найма. Если это так как я предполагаю, то ни о каком договоре аренды жилья и речи быть не может, так как согласно действующего законодательства подобный договор может заключить только собственник жилья.

Ребенок прописан и/или вы в этом доме? Это нужно для более правильного ответа.

В соответствии со ст. 31 ЖК РФ:

В случае прекращения семейных отношений с собственником жилого помещения право пользования данным жилым помещением за бывшим членом семьи собственника этого жилого помещения не сохраняется, если иное не установлено соглашением между собственником и бывшим членом его семьи. Если у бывшего члена семьи собственника жилого помещения отсутствуют основания приобретения или осуществления права пользования иным жилым помещением, а также если имущественное положение бывшего члена семьи собственника жилого помещения и другие заслуживающие внимания обстоятельства не позволяют ему обеспечить себя иным жилым помещением, право пользования жилым помещением, принадлежащим указанному собственнику, может быть сохранено за бывшим членом его семьи на определенный срок на основании решения суда. При этом суд вправе обязать собственника жилого помещения обеспечить иным жилым помещением бывшего супруга и других членов его семьи, в пользу которых собственник исполняет алиментные обязательства, по их требованию.

С учетом этой нормы ЖК РФ, матери ребенка есть за что бороться. Кроме того, отсутствие жилья у матери не является препятствием определения места жительства ребенка с матерью, просто отец ребенка должен обеспечить найм помещения для проживания матери с ребенком после развода.