Каким образом незаконные действия зятя могут повлиять на возврат алиментов для ребенка?

Можете попробовать подать иск о признании незаконным снятия зятя с регистрационного учета, поскольку это, по вашему мнению, злоупотребление правом (ст. 10 ГК РФ).

Статья 10. Пределы осуществления гражданских прав

1. Не допускаются осуществление гражданских прав исключительно с намерением причинить вред другому лицу, действия в обход закона с противоправной целью, а также иное заведомо недобросовестное осуществление гражданских прав (злоупотребление правом).

2. В случае несоблюдения требований, предусмотренных пунктом 1 настоящей статьи, суд, арбитражный суд или третейский суд с учетом характера и последствий допущенного злоупотребления отказывает лицу в защите принадлежащего ему права полностью или частично, а также применяет иные меры, предусмотренные законом.

3. В случае, если злоупотребление правом выражается в совершении действий в обход закона с противоправной целью, последствия, предусмотренные пунктом 2 настоящей статьи, применяются, поскольку иные последствия таких действий не установлены настоящим Кодексом.

4. Если злоупотребление правом повлекло нарушение права другого лица, такое лицо вправе требовать возмещения причиненных этим убытков.

Согласно действующему законодательству, граждане имеют право на свободу передвижения и выбор места жительства, добровольное снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства нельзя признать незаконным, так как он имеет на это полное право. Вы указали что он выписался из "своего частного дома", но факт снятия с регистрационного учета не влияет на право собственности, если дом находиться в его собственности и имущество находящееся в нем, на указанное имущество можно наложить арест.