Обязан ли я страховать автомобиль сразу после покупки, даже если у предыдущего владельца еще есть действующая страховка?

Вы страхуете не автомобиль, а свою ответственность за причинение вреда, о чём говорится в Федеральном законе "Об обязательном страховании гражданской ответственности владельцев транспортных средств" от 25.04.2002 № 40-ФЗ. Согласно пункту 2 ст. 4 данного закона, Вы должны застраховать свою ответственность до регистрации автомобиля, но не позднее чем через 10 дней после возникновения права владения им (то есть заключения договора купли-продажи). В противном случае понесёте административную ответственность.

В Положении о правилах обязательного страхования гражданской ответственности владельцев транспортных средств" (утв. Банком России 19.09.2014 № 431-П) говорится, что страхователь (то есть бывший владелец автомобиля) вправе досрочно прекратить действие договора обязательного страхования (то есть выданного полиса ОСАГО) в случае замены собственника транспортного средства. Также можно оставить в силу прежний страховой полис путём внесения в него Ваших данных. В данной процедуре должен участвовать прежний собственник, если он желает передать Вам полис.

Сразу. Страхуете Вы свою автогражданскую ответственность - ОСАГО. Есть вид страхования по пути следования к месту регистрации ТС, но лучше сразу застраховать ТС, зачем несколько раз платить, если Вы не собираетесь продавать автомобиль. Или прежний собственник вправе Вас внести в полис ОСАГО, а если у него без ограничения доступа, то вообще ничего не надо делать. Полис только заберите и пользуйтесь. Договор составьте сразу на дату постановки на учет с продавцом, чтобы вопросов не было, что в полисе указан другой собственник.