Как написать заявление на отпуск без содержания при отказе работодателя и когда его следует подать?

Можете.

Новая редакция Ст. 128 ТК РФ По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем. Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы: участникам Великой Отечественной войны - до 35 календарных дней в году; работающим пенсионерам по старости (по возрасту) - до 14 календарных дней в году; родителям и женам (мужьям) военнослужащих, сотрудников органов внутренних дел, федеральной противопожарной службы, таможенных органов, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы (службы), либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы (службы), - до 14 календарных дней в году; работающим инвалидам - до 60 календарных дней в году; работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней; в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом,

Написать - можете, просто работодатель не обязан его подписывать (с ним соглашаться).

А больничный - на обязанность работодателя не влияет.

Статья 123 ТК РФ.

Очередность предоставления ежегодных оплачиваемых отпусков

Очередность предоставления оплачиваемых отпусков определяется ежегодно в соответствии с графиком отпусков, утверждаемым работодателем с учетом мнения выборного органа первичной профсоюзной организации не позднее чем за две недели до наступления календарного года в порядке, установленном статьей 372 настоящего Кодекса для принятия локальных нормативных актов.

График отпусков обязателен как для работодателя, так и для работника.

О времени начала отпуска работник должен быть извещен под роспись не позднее чем за две недели до его начала.

Здравствуйте.

Если Ваш больничный приходится на время отпуска, то отпуск может быть перенесен на другое время или продлен на период нетрудоспособности с учетом пожеланий работника, ст.124 ТК РФ.

Вы можете подать заявление на отпуск с последующим увольнением, работодатель обязан будет предоставить Вам такой отпуск в Вашем случае, ст.127 ТК РФ, поэтому отпуск за свой счет просить не обязательно.