Обязан ли центр занятости искать мне работу по специальности, если у меня нет трудовой книжки?

Служба занятости должна искать для вас подходящие вакансии.

Согласно п. 1 ст. 4 Закона N 1032-1 "О занятости населения" подходящей считается такая работа, в том числе работа временного характера, которая соответствует профессиональной пригодности работника с учетом уровня его квалификации, условиям последнего места работы или службы (за исключением оплачиваемых общественных работ), а также состоянию здоровья, транспортной доступности рабочего места.

Если нет трудовой книжки, вы можете предоставить иные подтверждающие какую-либо работу документы (например, трудовые договоры).

В общем случае пособие по безработице начисляется гражданам с первого дня признания их безработными. Решение о признании гражданина безработным принимается службой занятости населения по месту жительства гражданина в течение 11 дней со дня предъявления документов, необходимых для регистрации в качестве безработного (п. 2 ст. 3, п. 3 ст. 31 Закона N 1032-1).

Пособие по безработице выплачивается ежемесячно при условии, что безработный гражданин проходит перерегистрацию в сроки, установленные службой занятости населения, но не чаще двух раз в месяц (п. 6 ст. 31 Закона N 1032-1).

Поскольку Вы длительно не работали (более года), то Вам имеют право предлагать любую работу. Если два раза откажитесь, то перестанут платить пособие по безработице.