Как грамотно перевестись в другую часть и на какие законы обратить внимание?

Здравствуйте. Будем считать, что вы проходите службу по контракту.

Либо в вашу часть приходит телеграмма от вышестоящего начальства о том, что по служебной необходимости из вашей части в другую на такую-то должность необходимо перевести военнослужащего и вы попадаете под эту должность. Тогда вы исполняете рапорт о своём желание и вас рассматривают на аттестационной комиссии.

Либо вы берёте отношение в другой части, предоставляете его вашему командиру и он принимает решение отпускать вас или нет.

Приказ 660 МО РФ от 2015 г, пункт 11:

11. Военнослужащий вправе предложить на рассмотрение соответствующей аттестационной комиссии свою кандидатуру для назначения на освобождающуюся или вакантную воинскую должность. При этом он представляет командиру (начальнику) воинской части рапорт с ходатайством о рассмотрении его кандидатуры для назначения на воинскую должность. Рапорт военнослужащего рассматривается аттестационной комиссией воинской части, которая готовит предложения командиру (начальнику) воинской части о целесообразности назначения военнослужащего на воинскую должность. Военнослужащий, ходатайство которого отклонено, уведомляется аттестационной комиссией воинской части о принятом решении в письменной форме.

Если командиром (начальником) воинской части принято решение о представлении к назначению на воинскую должность военнослужащего другой воинской части, на имя командира (начальника) воинской части, где проходит военную службу военнослужащий, отобранный к назначению на воинскую должность, направляется отношение, оформляемое по рекомендуемому образцу согласно приложению N 5 к настоящему Порядку. Командир (начальник) воинской части, в которой проходит военную службу отобранный к назначению на воинскую должность военнослужащий, обязан в течение десяти дней после получения отношения принять по нему решение и уведомить о принятом решении командира (начальника) воинской части, выдавшего отношение. В случае принятия решения о представлении военнослужащего к назначению на воинскую должность соответствующее представление направляется в порядке подчиненности в кадровый орган, подчиненный уполномоченному лицу по назначению на воинскую должность, указанную в отношении.