Директор требует информации о внешнем совместительстве учителей - законно ли это?

Нет не имеет на это право он.

Исходя из нижеуказанного нормативного акта на учителях не лежит обязанность сообщать директору о работе по внешнему совместительству Соответственно директор не имеет права требовать, чтобы ему сообщали

Постановление Правительства РФ от 04.04.2003 N 197 (ред. от 29.11.2018) "Об особенностях работы по совместительству педагогических, медицинских, фармацевтических работников и работников культуры"

1. Установить следующие особенности работы по совместительству педагогических, медицинских, фармацевтических работников и работников культуры:

Об оспаривании законности п.п. "а" пункта 1 настоящего Постановления см. Решение Верховного Суда РФ от 26 апреля 2004 г. N ГКПИ 04-561, оставленное Определением Кассационной коллегии Верховного Суда РФ от 5 августа 2004 г. N КАС 04-295 без изменения

а) указанные категории работников вправе осуществлять работу по совместительству - выполнение другой регулярной оплачиваемой работы на условиях трудового договора в свободное от основной работы время по месту их основной работы или в других организациях, в том числе по аналогичной должности, специальности, профессии, и в случаях, когда установлена сокращенная продолжительность рабочего времени (за исключением работ, в отношении которых нормативными правовыми актами Российской Федерации установлены санитарно-гигиенические ограничения);