Можно ли работать во время судебного процесса по делу о незаконном сокращении и как это повлияет на выплату вынужденного прогула.

Нет не повлияет. Для выплаты вынужденного прогула достаточно судебного решения. Никаких иных документов, подтверждающих отсутствие у вас работы не требуется.

В соответствии со статьей 394 ТК РФ "Если неправильная формулировка основания и (или) причины увольнения в трудовой книжке препятствовала поступлению работника на другую работу, то суд принимает решение о выплате работнику среднего заработка за время вынужденного прогула". См. так же пункт 61 Пленума Верховного суда от 17.03.2004 № 2 О применении судами РФ ТК РФ. Получается, если Вы смогли устроиться на другую работу вынужденный прогул Вам оплачен не будет.

В силу части седьмой ст. 394 ТК РФ период вынужденного прогула будет исчисляться со дня, следующего за днем увольнения, до дня, предшествующего дню начала работы у нового работодателя.

В соответствии с Постановлением Правительства РФ от 24 декабря 2007 г. № 922 "Об особенностях порядка исчисления средней заработной платы" средний заработок, определенный для оплаты времени вынужденного прогула, подлежит повышению на коэффициент, рассчитанный путем деления тарифной ставки, оклада (должностного оклада), денежного вознаграждения, установленных работнику с даты фактического начала работы после его восстановления на прежней работе, на тарифную ставку, оклад (должностной оклад), денежное вознаграждение, установленные в расчетном периоде, если за время вынужденного прогула в организации (филиале, структурном подразделении) повышались тарифные ставки, оклады (должностные оклады), денежное вознаграждение.

Таким образом, наличие еще одной работы не является основанием для снижения выплат.