Какие меры предусмотрены за многократное обращение с одним вопросом через сайты разных министерств?

Наказание не будет. Просто приобщат к предыдущим обращениями и направят в тот же орган.

Здравствуйте. Нет, это не наказывается. Просто Вам или придет теперь 3 ответных письма, или объединят в одно производство. Но если постоянно направлять в одно и тоже ведомство одно и тоже обращение, с Вами могут прекратить переписку на основании ч. 5 ст. 11 Федерального закона от 02.05.2006 N 59-ФЗ "О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации":

В случае, если в письменном обращении гражданина содержится вопрос, на который ему неоднократно давались письменные ответы по существу в связи с ранее направляемыми обращениями, и при этом в обращении не приводятся новые доводы или обстоятельства, руководитель государственного органа или органа местного самоуправления, должностное лицо либо уполномоченное на то лицо вправе принять решение о безосновательности очередного обращения и прекращении переписки с гражданином по данному вопросу при условии, что указанное обращение и ранее направляемые обращения направлялись в один и тот же государственный орган, орган местного самоуправления или одному и тому же должностному лицу. О данном решении уведомляется гражданин, направивший обращение.

Простите пожалуйста за уточнение. Это вообще никак не наказывается даже если каждый раз обращение было помечено как первичное (хотя можно было выбрать повторное или многократное)?