Должны ли сейчас выдавать листок убытия при снятии с регистрационного учёта по месту жительства в Москве?

Егор, нет - этот листок сейчас не нужен.

Пункт 54 Приказа МВД России от 31.12.2017 N 984 «Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации», регламентирует перечень документов для снятия с регистрационного учета по месту жительства, и в число документов входит в том числе согласно подпункта 54.1-

Заявление о снятии с регистрационного учета по месту жительства произвольной формы с указанием адреса выбытия. Письменное заявление о снятии с регистрационного учета гражданин вправе представить в орган регистрационного учета по месту фактического проживания.

2.Что касается адресного листка убытия (приложение 12 к Приказу), то в дальнейшем, собственно, он вам и не потребуется. Для регистрации по месту жительства (пункт 49, подпункты 49.1-49.4 Приказа), или по месту пребывания (п.40 и пункт 41 подпункты 41.1-41.4 Приказа) данный документ не требуется. А в ваш паспорт будет проставлена отметка (штамп) о снятии с регистрационного учета. То есть в пределах РФ листок убытия вам, собственно, нигде не требуется предъявлять.

Сейчас можно подать на регистрацию, одновременно сняться и зарегистрировать по новому месту жительства. Если Вы только снимаетесь, листок убытия на руки выдадут. И у Вас будет срок на регистрации 7 рабочих дней.