Назначение И.О. директора учреждения после увольнения предшественника - как оформить и.о. и расторгнуть основной договор с сотрудником?

Нет основной договор расторгать не нужно, он же назначается временно, на время отсутствие, когда будет приказ на нового без и.о. или на него приказ как руководитель, то тогда расторгните.

Трудовое законодательство предусматривает три формы исполнения трудовой функции по другой должности при необходимости замещения временно отсутствующего работника.

1. Временный перевод на другую работу для замещения отсутствующего работника. Если такой перевод осуществляется по соглашению сторон трудового договора (ч. 1 ст. 722 ТК РФ), то стороны заключают дополнительное соглашение к трудовому договору, в котором указывается трудовая функция, срок временного перевода, другие условия. Временный перевод на другую работу по соглашению сторон оформляется приказом работодателя по унифицированной форме Т-5. По окончании срока перевода работнику должна быть предоставлена прежняя работа. Во избежание споров работодателю целесообразно издать приказ (в произвольной форме) об окончании срока временного перевода и о предоставлении прежней работы.

2. Если стороны решают вопрос об исполнении обязанностей временно отсутствующего работника без освобождения от основной работы и за пределами нормальной продолжительности рабочего времени, то должен оформляться трудовой договор по совместительству на определенный срок. На основании заключенного трудового договора работодатель издает приказ о приеме на работу по совместительству по унифицированной форме Т-1.

3. Для исполнения обязанностей временно отсутствующего работника без освобождения от работы, определенной трудовым договором, в пределах нормальной продолжительности рабочего времени, работнику может быть поручена дополнительная работа (ст. 602 ТК РФ). Вопрос о размере доплаты за выполнение дополнительной работы решается по соглашению сторон трудового договора. Выполнение дополнительной работы устанавливается работодателем с согласия работника путем издания приказа в произвольной форме.