Какие права у меня на должность работника, который находится в отпуске по уходу за ребенком, и есть ли шанс остаться на работе в организации?

По достижении ребенком 14 лет вы утратили иммунитет от расторжения трудовых отношений по инициативе работодателя.

Однако в соответствии со ст. 81 "Увольнение по основанию, предусмотренному пунктом 2 (сокращение штата) части первой настоящей статьи, допускается, если невозможно перевести работника с его письменного согласия на другую имеющуюся у работодателя работу (как вакантную должность или работу, соответствующую квалификации работника, так и вакантную нижестоящую должность или нижеоплачиваемую работу), которую работник может выполнять с учетом его состояния здоровья. При этом работодатель обязан предлагать работнику все отвечающие указанным требованиям вакансии, имеющиеся у него в данной местности. Предлагать вакансии в других местностях работодатель обязан, если это предусмотрено коллективным договором, соглашениями, трудовым договором".

Т.е. вам обязаны предложить именно вакантную должность.

То, что вам предлагается, это перевод на срочный трудовой договор, а это не отвечает требованиям ТК. По разъяснениям ВС РФ данная должность (как предлагается вам) не является вакантной.

Если вы согласитесь и подпишите условия по срочному трудовому договору, при выходе работника договор с вами будет расторгнут.

Если вам предлагают просто временный перевод, то ситуация временно откладывается, т.к. работодателю снова придется решать вопрос о вашем трудоустройстве.

Если вам предлагают только эту должность, то это ненадлежащее выполнение работодателем условий сокращения и основания для восстановления вас на работе в судебном порядке.