Кто должен косить траву на пришкольном участке - обязанности учителя технологии в сельской школе

Конечно нет

Пришкольный участок, конечно не является вашей собственность А коль этот участок не является вашей собственностью то вы не обязаны там скашивать траву

Директор заблуждается или сознательно вводит вас в заблуждение.

Право собственности на земельный участок возникает в силу закона или договора.

Собственностью граждан и юридических лиц (частной собственностью) являются земельные участки, приобретенные гражданами и юридическими лицами по основаниям, предусмотренным законодательством Российской Федерации (ч.1 ст.15 ЗК РФ).

Права на земельные участки, предусмотренные главами III (Собственность на землю) и IV (Ограниченное пользование чужими земельными участками (сервитут, публичный сервитут), аренда земельных участков, безвозмездное пользование земельными участками) настоящего Кодекса, возникают по основаниям, установленным гражданским законодательством, федеральными законами, и подлежат государственной регистрации в соответствии с Федеральным законом "О государственной регистрации недвижимости" (п.1 ст.25 ЗК РФ).

Поскольку вы не заключали договор на приобретение пришкольного участка, и не регистрировали его в Росреестре, он не является вашей собственностью.

Действия директора не правомерны, у вас обязанности окашивать участок, это не входит в трудовые обязанности учителя, и собственником этого участка вы не являетесь.